Fractals and Chaos
The Mandelbrot Set and Beyond
Benoit B. Mandelbrot
สปริงเกอร์: 2004. 308 ต่อ 49.95 ดอลลาร์, 38.50 ปอนด์, 49.95 ยูโร 0387201580 | ISBN: 0-387-20158-0
สล็อตเว็บตรงไม่ผ่านเอเย่นต์ไม่มีขั้นต่ำ เมื่อ 20 กว่าปีที่แล้วที่กองถ่าย Mandelbrot ได้ครองโลกโดยพายุ รูปภาพของความซับซ้อนและความงามที่ไม่ธรรมดาปรากฏในนิตยสารวิทยาศาสตร์และมันวาว บนผนังห้องแสดงงานศิลปะและห้องเรียน บนโปสเตอร์ และแม้กระทั่งบนผ้าปูโต๊ะ ด้วยความพร้อมใช้งานของคอมพิวเตอร์ส่วนบุคคลที่เพิ่มขึ้น การวาดภาพชุด Mandelbrot กลายเป็นแบบฝึกหัดมาตรฐานสำหรับการเขียนโปรแกรมการเรียนรู้เหล่านั้น และมักเป็นการเสพติดสำหรับผู้ชื่นชอบคอมพิวเตอร์ ซึ่งสามารถสำรวจความสลับซับซ้อนของมันได้โดยอาศัยส่วนต่างๆ ของโครงสร้างตลอดไป อาจไม่น่าแปลกใจที่ขั้นตอนง่ายๆ เช่นนี้ทำให้เกือบทุกคนสามารถสร้างวัตถุที่มีความซับซ้อนและความน่าดึงดูดใจอันยิ่งใหญ่ได้ดึงดูดจินตนาการของสาธารณชน
คำจำกัดความของชุด Mandelbrot ซึ่งแสดงโดย M นั้นง่ายมาก กำหนดจำนวนเชิงซ้อน c เริ่มต้นที่จุดกำเนิด 0 และติดตามเส้นทางของจุดที่ได้รับโดยใช้การแปลง f(z) = z2 + c ซ้ำๆ นั่นคือ ลำดับ 0, c, c2 + c, (c2 + c) 2 + c… หากจุดเหล่านี้ไม่เคยอยู่ห่างจากจุดกำเนิดมากนัก c อยู่ใน M แต่ถ้ามันเคลื่อนไปสู่อนันต์ c จะไม่อยู่ใน M การตรวจสอบอย่างตรงไปตรงมานี้ช่วยให้สามารถสแกนข้ามพื้นที่ของระนาบเชิงซ้อนได้ เพื่อกำหนดขอบเขตของ M.
ภาพที่หยาบคายของ M แสดง cardioid หลักล้อมรอบด้วย ‘ตา’ วงกลมที่มีขนาดลดลง แต่การสืบสวนที่มีรายละเอียดมากขึ้นซึ่งริเริ่มโดยเบอนัวต์ มานเดลบรอตในปี 1980 เผยให้เห็นอีกมาก: ตาทั้งหมดล้อมรอบด้วยตาที่เล็กกว่า ซึ่งจะรองรับดอกตูมที่เล็กกว่า และอื่นๆ เมื่อกลับบ้านที่เขต M เผยให้เห็นโรงเลี้ยงสัตว์ที่มีเกลียวหลายกิ่ง มังกร และม้าน้ำ ขนที่ละเอียดจนมองไม่เห็นจะยื่นออกมาจากตา โดยยึดตามความยาวของมันตามความยาวของมันทั้งชุดของ Mandelbrot
Mandelbrot เป็นเพียงความอยากรู้อยากเห็นหรือไม่? ไกลจากมัน. เป็นชุดพารามิเตอร์พื้นฐานที่เข้ารหัสข้อมูลจำนวนมหาศาลเกี่ยวกับกระบวนการที่ไม่เป็นเชิงเส้น อย่างแรก ตำแหน่งของจำนวนเชิงซ้อน c เทียบกับ M บอกเราอย่างมากเกี่ยวกับการวนซ้ำของการทำแผนที่กำลังสอง f(z) = z2 + c ‘Julia set’ (เติมแล้ว) ที่ c ประกอบด้วยจำนวนเชิงซ้อน z ซึ่งวนซ้ำภายใต้การใช้ f (z) = z2 + c ซ้ำ ๆ กันไม่เคยเดินไกลจากแหล่งกำเนิด ชุด Julia นี้ประกอบขึ้นเป็นชิ้นเดียวเมื่อ c อยู่ในชุด Mandelbrot (น่าสนใจ การแบ่งขั้วทอพอโลยีนี้ถูกบันทึกโดยปิแอร์ ฟาตูและกัสตง จูเลียในปี 1918–19 แต่หลายปีก่อนจะชื่นชมความสำคัญและความละเอียดอ่อนอย่างแท้จริง)
ยิ่งไปกว่านั้น ตำแหน่งที่แน่นอนของ c ใน M เช่น ตาที่มันอยู่ ให้คำอธิบายที่สมบูรณ์มากว่าการวนซ้ำของ f(z) ทำงานอย่างไร: ตัวอย่างเช่น มีรอบเป็นระยะหรือไม่ ที่น่าแปลกใจยิ่งกว่านั้นก็คือ แม้ว่ากำหนดไว้ในแง่ของแผนที่แบบไม่เชิงเส้นที่ง่ายที่สุด f(z) = z2 + c แต่ชุด Mandelbrot นั้นเป็น ‘สากล’ โดยที่มันรองรับพฤติกรรมของคลาสขนาดใหญ่มากของการแมปที่ไม่เชิงเส้นที่ซับซ้อนมากขึ้น สิ่งที่ชอบที่เกิดขึ้นในวิชาคณิตศาสตร์สมัยใหม่และการประยุกต์
การเกิดขึ้นของ Mandelbrot
ที่เกิดขึ้นในปี 1980 ทำให้เกิดกิจกรรมมากมายในหมู่นักคณิตศาสตร์ที่พยายามทำความเข้าใจโครงสร้างและความสำคัญของมัน ส่งผลให้เกิดความก้าวหน้าที่น่าประทับใจที่สุดในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมา ในปี 1982 Adrien Douady และ John Hubbard ได้พิสูจน์ความจริง (ไม่ใช่เรื่องเล็กน้อย) ที่ M มีการเชื่อมต่อกัน แม้ว่าจะยังไม่ทราบว่า M เชื่อมต่อกันในพื้นที่หรือไม่ คุณสามารถเดินทางระหว่างจุดที่อยู่ใกล้เคียงของ M ซึ่งอยู่ภายใน M โดยไม่ต้องอ้อมนานเกินไปหรือไม่ ในปี 1998 Mitsuhiro Shishikura แสดงให้เห็นว่าขอบเขตของ M มีมิติเศษส่วน 2 ซึ่งหมายความว่ามันซับซ้อนเท่าที่จะเป็นได้แม้ว่าจะยังไม่ทราบว่าขอบเขตนี้มีพื้นที่บวกหรือไม่
นี่เป็นเล่มที่สี่ของ Selecta ของ Mandelbrot ซึ่งประกอบด้วยงานพิมพ์ซ้ำของบทความของผู้แต่ง ส่วนใหญ่มาจากช่วงทศวรรษ 1980 เหล่านี้รวมถึงชุดเอกสารเกี่ยวกับน้ำเชื้อที่เผยให้เห็นความงดงามและความมีอยู่ทั่วไปทุกหนทุกแห่งของชุด Mandelbrot ร่วมกับเอกสารอื่นๆ ที่เกี่ยวข้องกับการทำซ้ำของฟังก์ชัน หลายส่วนให้ภาพรวมของงานพร้อมกับภูมิหลังทางวิทยาศาสตร์และประวัติศาสตร์ มีบทหนึ่งที่เขียนขึ้นโดยเฉพาะเพื่อช่วยให้ผู้ที่ไม่ใช่ผู้เชี่ยวชาญชื่นชมส่วนที่เหลือของหนังสือ
เนื้อหาส่วนใหญ่ไม่ต้องการความรู้ด้านเทคนิคโดยเฉพาะ ดังนั้นควรเข้าถึงหนังสือสำหรับผู้อ่านในวงกว้าง มันให้ข้อมูลเชิงลึกที่น่าสนใจเกี่ยวกับการเดินทางของผู้เขียนในการดูและค้นพบเมื่อภาพแรกเริ่มของฉาก Mandelbrot เริ่มเผยให้เห็นโลกใหม่ทั้งใบ มันให้ความรู้สึกถึงปรัชญาและแนวทางคณิตศาสตร์เชิงทดลองของเขา ซึ่งเป็นแนวทางที่เปลี่ยนวิธีคิดของเราเกี่ยวกับคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ สล็อตเว็บตรงไม่ผ่านเอเย่นต์ไม่มีขั้นต่ำ
